Вот еще одно доказательство того, что не мусульмане, так сказать, пришли в Европу. а европейцы сами путем захватнических войн и торговли знакомились с арабской цивилизацией.
Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались иногда мирными средствами, иногда насильственным путем, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские города, за ними последовали города Франции и Центральной Европы. За купцом и за солдатом следовали ученые, а иногда они были первыми. Испания и Сицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама. Когда в 1085 г. Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились в этот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиков-евреев, а в двенадцатом столетии мы видим в Испании Платона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Вата и Роберта из Честера – все они переводят на латинский язык арабские математические рукописи. Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа была достаточно развита, чтобы оценить эти знания.
4. Как мы уже сказали, первые могущественные коммерческие города возникли в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю с арабским миром и с Севером. Итальянские купцы посещали Восток и знакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло доказывают бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти за две тысячи лет до этого, они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более древней цивилизации не только для того, чтобы повторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственной новой системе. А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.
Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы. Леонардо, которого называли также Фибоначчи («сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как купец. Вернувшись, он написал свою «Книгу абака» (Liber abaci, 1202 г.), заполненную арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книге «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г.) Леонардо подобным же образом рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Возможно, что он был к тому же оригинальным исследователем, так как в его книгах есть немало примеров, по-видимому, не имеющих точных соответствий в арабской литературе. Впрочем, он цитирует ал-Хорезми, например, при рассмотрении уравнения 0,3 Kb. Задача же, которая приводит к «ряду Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, каждый член которого есть сумма двух ему предшествующих, – по-видимому, является новой. Должно быть, новым является и его замечательное доказательство того, что корни уравнения 0,36 Kb нельзя выразить с помощью евклидовых иррациональностей вида 0,31 Kb (следовательно, их нельзя построить с помощью только циркуля и линейки). Леонардо доказал это, проверяя каждый из пятнадцати случаев Евклида, а затем приближенно определил положительный корень этого уравнения, вычислив шесть шестидесятичных знаков.
Ряд Фибоначчи получается при решении следующей задачи:
Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут?
«Книга абака» была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные случаи применения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо – из Испания и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые, паломники и солдаты. Самый древний европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы, – это «Вигиланский кодекс» (Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 г. Однако эти десять знаков медленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 г. Греческая система нумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течение столетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске со счетными жетонами или камушками (часто это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в основном сходном со счетными досками, которыми все еще пользуются русские, китайцы, японцы. Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течение средних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах, и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения индийско-арабских знаков выступали и широкие круги, так как использование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг. В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г.) флорентийским банкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь в четырнадцатом столетии итальянские купцы начали применять некоторые арабские цифры в своих счетных книгах.
5. Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике стал распространяться и на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. В течение долгого времени математика такого рода хранила явные следы своего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и алгоритм.